İstatistik ve Olasılık · 1. Ünite: Veri ve İstatistiksel Analiz

Dağılım ve Değişkenlik Ölçüleri (Varyans, Standart Sapma)

İki makine aynı ortalama çapta mil üretebilir, ama biri çapı her seferinde hedefe çok yakın, diğeri geniş bir bant boyunca üretir; yalnızca ortalamaya bakan bir mühendis farkı göremez. Değişkenlik ölçüleri verinin merkez etrafında ne kadar yayıldığını sayıya döker ve istatistiksel çıkarımın ham maddesidir: güven aralığı, hipotez testi ve kontrol grafiği hep yayılıma dayanır. Bu konuda aralık, çeyrekler arası aralık (IQR), varyans ve standart sapmayı tanımlayacak, $n-1$ paydasının nedenini türetecek, doğrusal dönüşümlerin yayılıma etkisini, Chebyshev eşitsizliğini, standart (z) puanı ve değişkenlik katsayısını öğrenecek ve bir veri kümesinin yayılımını gerekçeli olarak yorumlayabileceksin.

Öğrenme hedefleri

• Bir veri kümesi için aralığı, çeyrekler arası aralığı (IQR), örneklem varyansını $s^2$ ve standart sapmayı $s$ hesaplar; $n$ ve $n-1$ paydalı varyansı ($\sigma^2$ ve $s^2$) ayırt eder.
• $s^2 = \dfrac{\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2/n}{n-1}$ hesaplama formülünü türetir ve kullanır.
• $\sum (x_i - \bar{x})^2$ içinde yalnızca $n-1$ sapmanın serbest olduğunu gösterir ve $E[s^2] = \sigma^2$ olduğunu türetir.
• $y = a + bx$ dönüşümünde $s_y = |b|\,s_x$ ve $s_y^2 = b^2 s_x^2$ sonucunu uygular; sabit eklemenin yayılımı değiştirmediğini açıklar.
• Chebyshev eşitsizliğini ve (çan biçimli veride) $68$–$95$–$99{,}7$ kuralını kullanır; standart puanı ($z$) ve değişkenlik katsayısını ($CV$) hesaplayıp karşılaştırma yapar.
• Tukey çitleriyle ($Q_1 - 1{,}5\,\text{IQR}$, $Q_3 + 1{,}5\,\text{IQR}$) aykırı değer belirler; aynı ortalamaya sahip iki kümenin yayılımını ölçülerle karşılaştırır.

Konu anlatımı

1. Motivasyon: Aynı Ortalama, Farklı Yayılım

2. Varyans ve Standart Sapma

3. Doğrusal Dönüşümler, Standart Puan ve Değişkenlik Katsayısı

4. Chebyshev Eşitsizliği ve Ampirik Kural

5. Çeyrekler, Aykırı Değer Çitleri ve Çözümlü Örnekler

6. Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları

Anahtar terimler

Aralık (range)

En büyük ve en küçük gözlem arasındaki fark; yalnızca iki uç gözleme dayanır.

Çeyrekler arası aralık (IQR)

$Q_3 - Q_1$; verinin ortadaki %50'sinin kapladığı genişlik, dayanıklı bir yayılım ölçüsü.

Örneklem varyansı (sample variance)

$s^2 = \sum (x_i - \bar{x})^2/(n-1)$; sapma karelerinin $n-1$ serbestlik derecesine bölümü, $\sigma^2$ için yansız tahmin.

Standart sapma (standard deviation)

$s = \sqrt{s^2}$; verinin birimindeki tipik merkezden uzaklık.

Serbestlik derecesi (degrees of freedom)

Bir istatistikte serbestçe değişebilen bağımsız bilgi sayısı; $\sum(x_i - \bar{x}) = 0$ yüzünden sapmalar için $n-1$.

Standart puan (z-score)

$z = (x - \bar{x})/s$; gözlemin ortalamanın kaç standart sapma ötesinde olduğunu verir, birimsizdir.

Değişkenlik katsayısı (CV)

$s/|\bar{x}|$; farklı ölçeklerdeki verilerin göreli yayılımını karşılaştırır.

Chebyshev eşitsizliği

Her dağılımda $\mu \pm k\sigma$ içinde en az $1 - 1/k^2$ olasılık/oran bulunur.

Tukey çitleri (fences)

$Q_1 - 1{,}5\,\text{IQR}$ ve $Q_3 + 1{,}5\,\text{IQR}$; dışında kalan gözlemler aykırı değer sayılır.

Örnek soru

$3,\ 5,\ 7$ değerlerinden oluşan örneklemin standart sapması $s$ kaçtır?

1. 2
2. 1,63
3. 4
4. 2,83
5. 8

Doğru cevap: A

Çözüm

1. $\bar{x} = (3 + 5 + 7)/3 = 5$; sapmalar $-2, 0, +2$.
2. $\sum (x_i - \bar{x})^2 = 4 + 0 + 4 = 8$.
3. Örneklemde $n - 1 = 2$'ye bölünür: $s^2 = 8/2 = 4$, $s = \sqrt{4} = 2$.
Cevap: A. $1{,}63 = \sqrt{8/3}$ $n$'e bölmenin ($\sigma$ formülünün); $4$ varyansın; $2{,}83 = \sqrt{8}$ ise bölmeyi unutmanın sonucudur.

İstatistik ve Olasılık: tüm konular