İstatistik ve Olasılık · 1. Ünite: Veri ve İstatistiksel Analiz

Merkezi Eğilim Ölçüleri (Ortalama, Medyan, Mod)

Bir veri kümesini tek bir sayıyla özetlemek gerektiğinde ilk akla gelen soru "tipik değer nedir?" sorusudur. Ortalama, medyan ve mod bu soruya üç farklı cevap verir ve aynı veride birbirinden çok farklı çıkabilir: bir şirketin ortalama maaşı ile medyan maaşı arasında büyük fark olabilir. Bu konuda üç ölçüyü tanımlayacak, ortalamanın neden en küçük kareler anlamında merkez olduğunu, medyanın neden dayanıklı olduğunu türeteceksin; kırpılmış, ağırlıklı, geometrik ve harmonik ortalamaları ve gruplanmış veriden hesaplamayı öğrenecek, hangi ölçünün ne zaman raporlanacağına gerekçeyle karar verebileceksin.

Öğrenme hedefleri

• Bir veri kümesi için aritmetik ortalamayı, medyanı ve modu hesaplar; tek ve çift sayıda gözlemde medyanı, çok modlu ve modsuz durumları doğru ele alır.
• $\sum (x_i - \bar{x}) = 0$ özelliğini ve ortalamanın $\sum (x_i - c)^2$'yi, medyanın $\sum |x_i - c|$'yi en küçük yaptığını ispatlar.
• Doğrusal dönüşümün ($y = a + bx$) ortalamayı ve medyanı nasıl değiştirdiğini ($\bar{y} = a + b\bar{x}$) ve ağırlıklı ya da birleşik ortalamayı hesaplar.
• Kırpılmış ortalamayı hesaplar ve aykırı değere karşı ortalama, medyan ve kırpılmış ortalamanın duyarlılığını karşılaştırır.
• Sıklık tablosuyla verilen gruplanmış veriden ortalama, medyan ve mod tahmini yapar.
• Geometrik ve harmonik ortalamayı uygun bağlamda (büyüme oranları, ortalama hız) seçer; ortalama, medyan ve mod konumlarından dağılımın çarpıklık yönünü çıkarır.

Konu anlatımı

1. Motivasyon: "Tipik" Olan Ne?

2. Aritmetik Ortalama ve Özellikleri

3. Medyan ve Mod

4. Kırpılmış, Geometrik ve Harmonik Ortalama

5. Gruplanmış Veriden Hesaplama ve Dağılımın Şekli

6. Çözümlü Örnekler: Aykırı Değer ve Karar

7. Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları

Anahtar terimler

Aritmetik ortalama (mean)

$\bar{x} = \sum x_i / n$; sapmaların toplamını sıfır yapan ve kareli sapmayı en küçük yapan merkez.

Medyan (median)

Sıralı verinin ortasındaki değer; yalnızca sıralamaya bağlıdır ve aykırı değere dayanıklıdır.

Mod (mode)

En sık görülen değer; nominal veri için tek anlamlı merkezi eğilim ölçüsüdür, yok ya da çok olabilir.

Kırpılmış ortalama (trimmed mean)

Her uçtan $\lfloor pn\rfloor$ gözlem atıldıktan sonra kalanın ortalaması; ortalama ile medyan arasında bir uzlaşı.

Ağırlıklı ortalama (weighted mean)

$\sum w_i x_i / \sum w_i$; gruplar arasında ağırlık grup büyüklüğüdür.

Geometrik ortalama (geometric mean)

$(\prod x_i)^{1/n}$; çarpımsal büyüme çarpanları için uygun ortalama.

Harmonik ortalama (harmonic mean)

$n/\sum(1/x_i)$; sabit mesafedeki ortalama hız gibi oranlar için uygun ortalama.

Dayanıklılık (robustness)

Bir istatistiğin aykırı değerlerden etkilenmeme özelliği; medyanın çöküş noktası $\approx \%50$, ortalamanın $1/n$'dir.

Çarpıklık (skewness)

Dağılımın asimetrisi; sağa çarpıkta mod $<$ medyan $<$ ortalama, sola çarpıkta ters sıra.

Örnek soru

Altı gözlemin sırasıyla kaydedilmiş değerleri $12,\ 7,\ 3,\ 9,\ 15,\ 5$'tir. Bu verinin medyanı kaçtır?

1. 6
2. 7
3. 8,5
4. 8
5. 9

Doğru cevap: D

Çözüm

1. Medyan sıralı verinin ortasıdır: $3, 5, 7, 9, 12, 15$.
2. $n = 6$ çift olduğundan $3.$ ve $4.$ değerin ortalaması alınır: $(7 + 9)/2 = 8$.
3. Kontrol: $8$'in altında $3$ ($3, 5, 7$), üstünde $3$ ($9, 12, 15$) gözlem var.
Cevap: D. $6$ sıralamadan önce ortadaki iki değer ($3$ ve $9$) alınırsa çıkar; $8{,}5$ ise ortalamadır ($51/6$).

İstatistik ve Olasılık: tüm konular