İstatistik ve Olasılık · 1. Ünite: Veri ve İstatistiksel Analiz

Verilerin Görselleştirilmesi (Histogram, Kutu Grafiği vb.)

Ortalama ve standart sapma gibi özet sayılar, verinin şekli hakkında çok şey saklar: iki tepeli bir dağılım, tek bir aykırı gözlem ya da yapay bir kümelenme sayılarda görünmez, grafikte bir bakışta görünür. Bu konuda sıklık dağılımı ve histogramı (sınıf sayısı ve genişliği seçimiyle), gövde-yaprak grafiğini, nokta diyagramını ve kutu grafiğini (beş sayı özeti ve Tukey çitleri) öğrenecek; çarpıklığı ve tepe sayısını grafikten okuyacak, yanıltıcı grafik tuzaklarını fark edecek ve bir veri türü için doğru grafiği seçebileceksin.

Öğrenme hedefleri

• Sürekli bir veriden sıklık tablosu kurar: Sturges ya da $\sqrt{n}$ kuralıyla sınıf sayısını seçer, sınıf genişliğini ve sınır konvansiyonunu belirler, bağıl ve kümülatif sıklıkları hesaplar.
• Eşit olmayan genişlikli sınıflarda yoğunluk histogramının yüksekliğini ($\text{bağıl sıklık}/\text{genişlik}$) hesaplar ve alanın bağıl sıklığa eşit olduğunu açıklar.
• Gövde-yaprak grafiği çizer ve okur; ham veriyi ve medyan, çeyrek gibi konumları grafikten çıkarır.
• Beş sayı özetini, IQR'ı ve Tukey çitlerini hesaplar; kutu grafiğini çizer ve aykırı değerleri belirler.
• Histogram, kutu grafiği ve ortalama–medyan ilişkisinden dağılımın şeklini (simetrik, sağa/sola çarpık, iki tepeli) belirler; çarpıklık katsayısı $g_1$'in işaretini yorumlar.
• Sınıf sayısının, kesik eksenin ve ölçek seçiminin yorumu nasıl değiştirdiğini açıklar; veri türüne göre uygun grafiği seçer.

Konu anlatımı

1. Motivasyon: Sayılar Yetmez, Önce Bak

2. Sıklık Dağılımı ve Histogram

3. Gövde-Yaprak ve Nokta Diyagramı

4. Kutu Grafiği ve Beş Sayı Özeti

5. Dağılımın Şekli: Simetri, Çarpıklık, Tepe Sayısı

6. Yanıltıcı Grafikler ve Grafik Seçimi

7. Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları

Anahtar terimler

Sıklık dağılımı (frequency distribution)

Verinin sınıflara ayrılıp her sınıftaki gözlem sayısının (sıklık, bağıl ve kümülatif sıklık) gösterildiği tablo.

Histogram

Sürekli veriyi bitişik dikdörtgenlerle gösteren grafik; alan bağıl sıklıkla orantılıdır.

Sturges kuralı

Sınıf sayısı için başlangıç kuralı: $k = \lceil 1 + \log_2 n\rceil$.

Yoğunluk (density)

Bağıl sıklığın sınıf genişliğine bölümü; eşit olmayan sınıflarda histogram yüksekliği.

Gövde-yaprak grafiği (stem-and-leaf plot)

Her gözlemi gövde ve yaprak olarak yazan, şekli gösterirken ham veriyi koruyan grafik.

Beş sayı özeti (five-number summary)

En küçük, $Q_1$, medyan, $Q_3$, en büyük gözlem.

Kutu grafiği (box plot)

Beş sayı özetini kutu, medyan çizgisi ve bıyıklarla gösteren; çit dışındaki gözlemleri nokta olarak işaretleyen grafik.

Tukey çitleri (fences)

$Q_1 - 1{,}5\,\text{IQR}$ ve $Q_3 + 1{,}5\,\text{IQR}$; dışındaki gözlemler aykırı değer sayılır.

Çarpıklık (skewness)

Dağılımın asimetrisi; $g_1 = m_3/m_2^{3/2}$, sağa çarpıkta pozitif, sola çarpıkta negatif.

İki tepeli dağılım (bimodal)

İki ayrı yığılma gösteren dağılım; çoğunlukla iki alt grubun karışımıdır ve kutu grafiğinde görünmeyebilir.

Örnek soru

$n = 64$ gözlemlik bir veri kümesi için Sturges kuralı ($k = \lceil 1 + \log_2 n\rceil$) kaç sınıf önerir?

1. 5
2. 6
3. 7
4. 8
5. 9

Doğru cevap: C

Çözüm

1. $\log_2 64 = 6$ çünkü $2^6 = 64$.
2. $k = \lceil 1 + 6\rceil = 7$.
3. Kontrol: $\sqrt{64} = 8$ ile aynı mertebededir; ikisi de makul aralıktadır.
Cevap: C. $6$ ($\log_2 n$'yi $1$ eklemeden almak) ve $8$ ($\sqrt{n}$ kuralının sonucu) yaygın karışıklıklardır.

İstatistik ve Olasılık: tüm konular