İstatistik ve Olasılık · 5. Ünite: Özel Sürekli Olasılık Dağılımları

Gamma ve Üstel (Exponential) Dağılımlar

Bir makinenin arızalanana kadar geçen süresi, bir çağrı merkezine iki çağrı arasındaki bekleme, bir radyoaktif çekirdeğin bozunma anı: tümü pozitif değerli, sağa çarpık sürelerdir ve üstel dağılımla modellenir. Üçüncü çağrının gelişine kadar beklenen süre ya da üç ardışık hizmetin toplam süresi ise onun genellemesi olan Gamma dağılımına uyar. Bu konuda Gamma fonksiyonunu, Gamma yoğunluğunu, ortalama ve varyansı türetecek, üstel dağılımın belleksizlik özelliğini ispatlayacak, Poisson süreciyle bağlantıyı kuracak ve bu dağılımlarla bekleme süresi, güvenilirlik ve ömür problemleri çözeceksin.

Öğrenme hedefleri

• Gamma fonksiyonunu $\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x}dx$ ile tanımlar; $\Gamma(\alpha+1) = \alpha\Gamma(\alpha)$, $\Gamma(n) = (n-1)!$ ve $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$ sonuçlarını türetir.
• $\mathrm{Gamma}(\alpha,\beta)$ yoğunluğunun normalizasyonunu doğrular ve $E[X] = \alpha\beta$, $\mathrm{Var}(X) = \alpha\beta^2$ değerlerini momentlerden türetir.
• Üstel dağılımın yoğunluğunu, birikimli dağılımını ve sağ kuyruk (güvenilirlik) fonksiyonunu yazar; $P(a<X<b)$, medyan ve yüzdelik hesaplar.
• Üstel dağılımın belleksizlik özelliğini $P(X>s+t \mid X>s) = P(X>t)$ olarak ispatlar ve bunun sabit hazard hızıyla ilişkisini açıklar.
• Poisson sürecinde olaylar arası bekleme süresinin üstel, $r$-inci olaya kadar beklemenin $\mathrm{Gamma}(r,\beta)$ olduğunu gösterir ve $P(X>x)$'i Poisson olasılıklarına dönüştürür.
• Bağımsız üstel (aynı $\beta$) değişkenlerin toplamının Gamma olduğunu moment üreten fonksiyonla gösterir; $\alpha<1$, $\alpha=1$ ve $\alpha>1$ durumlarında yoğunluğun biçimini yorumlar.

Konu anlatımı

1. Motivasyon: Süreler, Beklemeler ve Poisson Süreci

2. Gamma Fonksiyonu

3. Gamma Dağılımı: Yoğunluk, Moment ve Biçim

4. Üstel Dağılım ve Belleksizlik

5. Poisson Süreciyle Bağlantı ve Toplam Teoremi

6. Çözümlü Örnekler

7. Sınır Durumları ve Sınırlar

8. Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları

Anahtar terimler

Gamma fonksiyonu

$\Gamma(\alpha)=\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x}dx$; $\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)$, $\Gamma(n)=(n-1)!$.

Gamma dağılımı

Yoğunluğu $x^{\alpha-1}e^{-x/\beta}/(\beta^\alpha\Gamma(\alpha))$ olan, ortalaması $\alpha\beta$ ve varyansı $\alpha\beta^2$ olan pozitif değerli dağılım.

Üstel dağılım (exponential)

$\alpha=1$ Gamma; $f(x)=(1/\beta)e^{-x/\beta}$, $E[X]=\beta$; Poisson sürecinde olaylar arası süre.

Belleksizlik (memoryless)

$P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)$; sürekli dağılımlar arasında yalnızca üstelde geçerlidir.

Güvenilirlik fonksiyonu

$R(x)=P(X>x)$; üstel için $e^{-x/\beta}$.

Hazard hızı

$h(x)=f(x)/R(x)$; anlık arıza oranı. Üstel için sabit $1/\beta$.

Erlang dağılımı

Şekil parametresi tam sayı olan Gamma; $n$ bağımsız $\mathrm{Exp}(\beta)$ toplamı.

Poisson süreci

Olay sayısı $\mathrm{Poisson}(\lambda x)$, olaylar arası süre $\mathrm{Exp}(1/\lambda)$ olan süreç.

Örnek soru

Gamma fonksiyonunun $\Gamma(\alpha+1) = \alpha\,\Gamma(\alpha)$ özelliğini kullanarak $\Gamma(5)$ değerini bulunuz.

1. 4
2. 12
3. 25
4. 120
5. 24

Doğru cevap: E

Çözüm

1. $\Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-x}dx = 1$.
2. Özyineleme: $\Gamma(2) = 1$, $\Gamma(3) = 2$, $\Gamma(4) = 3\cdot 2 = 6$, $\Gamma(5) = 4\cdot 6$.
3. $\Gamma(5) = 4! = 24$.
Cevap: E. $\Gamma(n) = (n-1)!$ olduğu için $5! = 120$ yanlıştır (indeks kayması); $4$ yalnızca $n-1$ değeridir; $25 = 5^2$ ve $12$ ise temelsiz çarpımlardır.

İstatistik ve Olasılık: tüm konular