İstatistik ve Olasılık · 5. Ünite: Özel Sürekli Olasılık Dağılımları

Standart Normal Dağılım Alanları

Normal yoğunluğun altındaki alanı bulmak için $\int e^{-z^2/2}dz$ integralinin kapalı bir ilkel fonksiyonu yoktur; bu yüzden olasılıklar standart normal tabloya ya da yazılıma dayanır. Her normal değişken $z = (x-\mu)/\sigma$ ile tek bir $N(0,1)$ eğrisine indirgendiğinden, bütün normal olasılık hesapları tek bir tablonun okunmasına döner. Bu konuda sol kuyruk, sağ kuyruk, aralık ve simetrik alan türlerini ayırmayı, simetriyle negatif $z$ değerlerini tablodan çıkarmayı, ters problemle (alandan $z$'ye) kritik değerleri bulmayı ve güven aralıklarında kullanılacak $z_{0{,}05}$, $z_{0{,}025}$, $z_{0{,}005}$ değerlerini öğreneceksin.

Öğrenme hedefleri

• $\Phi(z) = P(Z \le z)$ tablosunu okuyarak sol kuyruk, sağ kuyruk ve $z_1 < Z < z_2$ aralık olasılıklarını hesaplar.
• Yoğunluğun çift fonksiyon olmasından $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ simetrisini türetir ve negatif $z$ değerlerini tablodan bulur.
• Genel bir $N(\mu,\sigma^2)$ değişkeninin olasılığını $z = (x-\mu)/\sigma$ ile standartlaştırarak hesaplar ve ters yönde $x = \mu + \sigma z$ ile eşik değerlerini bulur.
• $z_\alpha$ kritik değerlerini ($z_{0{,}05} = 1{,}645$; $z_{0{,}025} = 1{,}96$; $z_{0{,}005} = 2{,}576$) tanımlar ve tek yanlı ile çift yanlı olasılıkları ayırt eder.
• Tabloda doğrudan bulunmayan değerler için doğrusal interpolasyon yapar ve tablonun sınırlarındaki ($|z| > 3{,}49$) davranışı yorumlar.
• Farklı ölçeklerdeki iki değeri $z$-skoruyla karşılaştırır ve yüzdelik (percentile) olarak yorumlar.

Konu anlatımı

1. Motivasyon: Neden Tek Bir Tablo Yeter?

2. Tanım, Tablo ve Simetri

3. Alan Türleri: Dört Kalıp

4. Standartlaştırma ve Ters Problem: Kritik Değerler

5. Çözümlü Örnekler

6. Sınır Durumları ve Tablonun Sınırları

7. Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları

Anahtar terimler

Standart normal dağılım

$Z \sim N(0,1)$; yoğunluğu $\varphi(z) = e^{-z^2/2}/\sqrt{2\pi}$.

$\Phi(z)$ (birikimli standart normal)

$P(Z \le z)$ sol kuyruk alanı; tablolarda $z$'ye karşı listelenir.

$z$-skoru

$(x-\mu)/\sigma$; bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu verir.

Simetri özelliği

$\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$; negatif $z$ değerleri pozitif olanlardan çıkarılır.

Kritik değer $z_\alpha$

$P(Z>z_\alpha) = \alpha$ koşulunu sağlayan değer; $z_{0{,}05} = 1{,}645$, $z_{0{,}025} = 1{,}96$.

Kuantil / yüzdelik (percentile)

$\Phi(z_p) = p$ koşulunu sağlayan $z_p$ ve $x_p = \mu + \sigma z_p$; verilerin yüzde kaçının altında kalındığını gösterir.

İki yanlı olasılık

$P(\lvert Z\rvert > z) = 2[1 - \Phi(z)]$; hipotez testlerinde iki kuyruğun toplamı.

İnterpolasyon

Tabloda olmayan $z$ ya da olasılık değerlerini komşu satır değerleri arasında doğrusal geçişle bulma.

Örnek soru

$Z \sim N(0,1)$ için $\Phi(0{,}5) = 0{,}6915$ ve $\Phi(1{,}5) = 0{,}9332$ olduğuna göre $P(0{,}5 < Z < 1{,}5)$ kaçtır?

1. 0,2417
2. 0,0668
3. 0,3085
4. 0,4332
5. 0,9332

Doğru cevap: A

Çözüm

1. Aralık olasılığı iki sol kuyruğun farkıdır: $P(z_1<Z<z_2) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1)$.
2. $\Phi(1{,}5) - \Phi(0{,}5) = 0{,}9332 - 0{,}6915$.
3. Sonuç $0{,}2417$.
Cevap: A. $0{,}0668 = P(Z>1{,}5)$ ve $0{,}3085 = P(Z>0{,}5)$ tek kuyruktur, $0{,}4332 = P(0<Z<1{,}5)$ alt uç $0$ alınarak bulunur, $0{,}9332$ ise yalnızca $\Phi(1{,}5)$'tir.

İstatistik ve Olasılık: tüm konular