İstatistik ve Olasılık · 5. Ünite: Özel Sürekli Olasılık Dağılımları
Ki-Kare, Lognormal ve Weibull Dağılımları
Örnek varyansının dağılımından hane gelirlerine, parça ömürlerinden rüzgâr hızlarına kadar pek çok pozitif değerli nicelik normalin simetrik çanına uymaz; bunların dağılımları Gamma ailesinin ve normalin dönüşümleriyle elde edilir. Ki-kare dağılımı standart normallerin karelerinin toplamıdır ve varyans çıkarımının temelidir; lognormal dağılım logaritması normal olan çarpımsal süreçlerin modelidir; Weibull dağılımı ise yıpranma ya da erken arıza gibi hazard davranışlarını esnek biçimde yakalar. Bu konuda üç dağılımın yoğunluklarını, ortalama ve varyanslarını, birbirleriyle ve normal ya da üstelle ilişkilerini öğrenecek, tablo ve kuyruk olasılıklarını hesaplayacak ve modelleme seçimini yorumlayacaksın.
Öğrenme hedefleri
- $\chi^2(v) = \mathrm{Gamma}(v/2, 2)$ ilişkisini kurar; $E = v$, $\mathrm{Var} = 2v$ sonuçlarını türetir ve $Z^2 \sim \chi^2(1)$ olduğunu birikimli dağılım yoluyla gösterir.
- Ki-kare tablosunu sağ kuyruk olasılıklarıyla okur: $\chi^2_{\alpha}(v)$ kritik değerlerini bulur ve iki yanlı aralık olasılıklarını hesaplar.
- Lognormal yoğunluğu $\ln X \sim N(\mu,\sigma^2)$ ile ilişkilendirir; olasılığı $\Phi\big((\ln x - \mu)/\sigma\big)$ ile hesaplar ve $E[X] = e^{\mu+\sigma^2/2}$, $\mathrm{Var}(X)$ formüllerini normal mgf'den türetir.
- Lognormalde mod $<$ medyan $<$ ortalama sıralamasını gerekçelendirir ve verilen medyan ile ortalamadan $\mu$, $\sigma$ parametrelerini çözer.
- Weibull için $F$, $R(x)$, hazard hızı $h(x) = \alpha\beta x^{\beta-1}$ ve ortalamayı hesaplar; $\beta<1$, $\beta=1$, $\beta>1$ durumlarını erken arıza, rastgele arıza ve yıpranma olarak yorumlar.
- Üç dağılımın kullanım alanlarını ve sınırlarını karşılaştırır: ne zaman ki-kare, ne zaman lognormal, ne zaman Weibull; normal yaklaşıklığın ne zaman başarısız olduğunu açıklar.
Konu anlatımı
Motivasyon: Normalin Yetmediği Yerler
Ki-Kare Dağılımı
Lognormal Dağılım
Weibull Dağılımı ve Hazard Hızı
Çözümlü Örnekler
Karşılaştırma ve Sınır Durumları
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Ki-kare dağılımı
- $\mathrm{Gamma}(v/2,2)$; $v$ bağımsız standart normalin kareleri toplamı, $E=v$, $\mathrm{Var}=2v$.
- Serbestlik derecesi (degrees of freedom)
- Ki-kare dağılımının $v$ parametresi; toplanan bağımsız kare sayısı. Örnek varyansı için $n-1$.
- Kritik değer $\chi^2_\alpha(v)$
- $P(\chi^2(v)>\chi^2_\alpha(v))=\alpha$; ki-kare tablosunda sağ kuyruk kritik değerleri.
- Lognormal dağılım
- $\ln X\sim N(\mu,\sigma^2)$ olan pozitif değerli, sağa çarpık dağılım; $E[X]=e^{\mu+\sigma^2/2}$.
- Weibull dağılımı
- $F(x)=1-e^{-\alpha x^\beta}$; $\beta=1$ üstel; $\beta$ hazard şeklini belirler.
- Hazard hızı (failure rate)
- $h(x)=f(x)/R(x)$; $x$ anına kadar hayatta kalmış parçanın anlık arıza oranı. Weibull'da $\alpha\beta x^{\beta-1}$.
- Güvenilirlik fonksiyonu
- $R(x)=P(X>x)=1-F(x)$; Weibull için $e^{-\alpha x^\beta}$.
- Küvet eğrisi (bathtub curve)
- Azalan, sabit ve artan hazard rejimlerinin birleşimi: erken arıza, kararlı dönem, yıpranma.
Örnek soru
$Z_1,\ldots,Z_5$ bağımsız standart normal değişkenler olsun. $Q = Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2 + Z_4^2 + Z_5^2$ hangi dağılıma uyar ve ortalaması kaçtır?
- $\chi^2(1)$, ortalama $1$
- $\chi^2(2)$, ortalama $2$
- $\chi^2(5)$, ortalama $5$
- $\chi^2(10)$, ortalama $10$
- $N(0,5)$, ortalama $0$
Doğru cevap: C
Çözüm
1. Her $Z_i^2\sim\chi^2(1)=\mathrm{Gamma}(1/2,2)$.
2. Bağımsız ve ortak $\beta=2$ olduğundan toplam $\mathrm{Gamma}(5/2,2)=\chi^2(5)$.
3. Ortalama $E[Q]=v=5$ ($\mathrm{Var}=2v=10$).
Cevap: C. $N(0,5)$ karelerin değil $Z_i$'lerin toplamının dağılımıdır; $\chi^2(1)$ tek karedir; $\chi^2(10)$ serbestlik derecesini iki katına çıkarır; $\chi^2(2)$ ise yalnızca iki terimin toplamıdır.