İstatistik ve Olasılık · 4. Ünite: Özel Kesikli Olasılık Dağılımları
Negatif Binom ve Geometrik Dağılımlar
Bir sistem bağlantısını kurmak için kaç deneme gerekir, bir satış temsilcisi hedefine ulaşmak için kaç müşteriyi aramak zorunda kalır, bir takım yedi maçlık seriyi ne zaman kazanır? Bu sorularda deneme sayısı sabit değildir; belirli sayıda başarı elde edilene kadar beklenir. Geometrik dağılım ilk başarıya, negatif binom dağılımı $k$. başarıya kadar geçen deneme sayısını modeller. Konunun sonunda kütle fonksiyonlarını türetecek, ortalama ve varyansı geometrik seri ile bulacak, geometrik dağılımın belleksizliğini ispatlayacak, negatif binomu geometriklerin toplamı ve binomla ilişkili olarak yorumlayacak ve iki ayrı kullanılan tanımı (deneme sayısı / başarısızlık sayısı) birbirinden ayıracaksın.
Öğrenme hedefleri
- Geometrik ve negatif binom deneylerini binom deneyinden ayırt eder; rastgele değişkenin deneme sayısı mı başarısızlık sayısı mı olduğunu belirler.
- $g(x;p) = pq^{x-1}$ ve $b^*(x;k,p) = \binom{x-1}{k-1}p^kq^{x-k}$ kütle fonksiyonlarını türetir ve toplamlarının 1 olduğunu gösterir.
- Geometrik seri ve türevinden $E[X] = 1/p$, $\mathrm{Var}(X) = q/p^2$ sonuçlarını bulur; $P(X > s) = q^s$ kuyruk olasılığıyla birikimli dağılımı yazar.
- Geometrik dağılımın belleksizlik özelliğini $P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$ ile ispatlar ve ne zaman yanlış uygulandığını (kumarbaz yanılgısı) açıklar.
- Negatif binomu bağımsız $k$ geometrik değişkenin toplamı olarak yorumlar ($E = k/p$, $\mathrm{Var} = kq/p^2$) ve $P(X \le x) = P(B(x,p) \ge k)$ ilişkisiyle birikimli olasılığı binomdan hesaplar.
Konu anlatımı
Motivasyon: Bir Başarıya Kadar Beklemek
Geometrik Dağılım: Türetme ve Momentler
Belleksizlik Özelliği
Negatif Binom Dağılımı
Çözümlü Örnekler
Sınır Durumları ve Sık Yapılan Hatalar
Anahtar terimler
- Geometrik dağılım (geometric distribution)
- İlk başarıya kadar geçen deneme sayısının dağılımı: $g(x;p) = q^{x-1}p$, $x = 1, 2, \dots$
- Negatif binom dağılımı (negative binomial)
- $k$. başarıya kadar geçen deneme sayısının dağılımı: $\binom{x-1}{k-1}p^kq^{x-k}$, $x \ge k$.
- Belleksizlik (memorylessness)
- $P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t)$; geçmiş başarısızlıkların gelecek olasılığı değiştirmemesi. Ayrık dağılımlar arasında yalnızca geometriğe özgüdür.
- Geometrik seri (geometric series)
- $\sum_{x \ge 0}q^x = 1/(1-q)$, $|q| < 1$; kütlenin toplamı ve momentlerin türetilmesinde kullanılır.
- Kuyruk olasılığı (tail probability)
- $P(X > x)$; geometrik için $q^x$. Birikimli dağılımla $F(x) = 1 - P(X > x)$ ilişkisi vardır.
- Başarısızlık sayısı tanımı
- $Y = X - k$ ile $y = 0, 1, 2, \dots$ destekli alternatif tanım; $E[Y] = kq/p$, varyans değişmez.
- Kumarbaz yanılgısı (gambler's fallacy)
- Bağımsız denemelerde uzun bir başarısızlık serisinden sonra başarının "yaklaştığı" inancı; belleksizlik bunun yanlış olduğunu gösterir.
- Kesilmiş bekleme süresi
- $\min(X, m)$; en çok $m$ deneme yapılan prosedürlerde beklenti $\sum_{j=0}^{m-1}P(X>j) = (1-q^m)/p$.
Örnek soru
Bağımsız denemelerde başarı olasılığı $p = 0{,}25$'tir. İlk başarının tam $4$. denemede gelme olasılığı kaçtır?
- $0{,}0791$
- $0{,}1055$
- $0{,}4219$
- $0{,}6836$
- $0{,}2500$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. İlk başarı $4$. denemede ise ilk $3$ deneme başarısız, $4$. deneme başarılıdır.
2. $P(X = 4) = q^{3}p = (0{,}75)^3(0{,}25) = 0{,}421875 \cdot 0{,}25 = 0{,}1055$.
Cevap: B. $0{,}0791 = 0{,}75^4 \cdot 0{,}25$ üssü bir fazla alır (başarısızlık sayısı $x - 1 = 3$ olmalı). $0{,}4219 = 0{,}75^3$ son denemedeki $p$ çarpanını unutmaktır (aslında $P(X > 3)$). $0{,}6836 = P(X \le 4) = 1 - 0{,}75^4$ birikimli olasılıktır.