İstatistik ve Olasılık · 3. Ünite: Rastgele Değişkenler ve Olasılık Dağılımları
Sürekli Rastgele Değişkenler
Bir bileşenin ömrü, bir hastanın kan basıncı, bir telin çapı: bu büyüklükler bir aralıktaki her değeri alabilir ve herhangi bir tek değerin olasılığı sıfırdır. Bu yüzden olasılık kütle fonksiyonu yerine olasılık yoğunluk fonksiyonu (probability density function) kullanılır ve olasılıklar toplam yerine alan (integral) ile hesaplanır. Konunun sonunda yoğunluk fonksiyonunun koşullarını sınayıp normalizasyon sabitini bulabilecek, $P(a < X < b)$ ve $P(X = a) = 0$ sonuçlarını türetebilecek, yoğunluk ile birikimli dağılım fonksiyonu arasında ($f = F'$) gidip gelebilecek ve medyan gibi yüzdelik değerleri bulabileceksin.
Öğrenme hedefleri
- Bir fonksiyonun sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu olması için gereken koşulları ($f \ge 0$, $\int f = 1$) sınar ve $f(x) = k\,s(x)$ biçiminde verilen yoğunlukta $k = 1 / \int s$ sabitini hesaplar.
- $P(a < X < b) = \int_a^b f(x)\,dx$ ilişkisini kullanarak parçalı tanımlı yoğunluklarda da aralık olasılıklarını hesaplar.
- $P(X = a) = 0$ sonucunu alan argümanıyla türetir ve bunun neden $P(a < X < b) = P(a \le X \le b)$ yaptığını ve olayın imkânsız olduğu anlamına gelmediğini açıklar.
- Yoğunluktan birikimli dağılım fonksiyonunu ($F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$) parça parça kurar, $F$'den $f = F'$ ile yoğunluğu geri kazanır.
- $F(m) = 0{,}5$ denklemini çözerek medyanı ve genel olarak $p$. yüzdeliği (quantile) bulur.
- Yoğunluğun değerinin ($f(x_0)$) olasılık olmadığını, yoğunluğun 1'i aşabileceğini ve $x_0$ çevresindeki dar şeridin olasılığının yaklaşık $2\varepsilon\,f(x_0)$ olduğunu gösterir.
Konu anlatımı
Motivasyon: Histogramdan Yoğunluğa
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu (PDF)
Birikimli Dağılım Fonksiyonu ve Yoğunlukla İlişkisi
Çözümlü Örnekler
Sınır Durumları ve İnce Noktalar
Tablo Okuma ve Simülasyonla Keşif
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Sürekli rastgele değişken (continuous random variable)
- Bir aralıktaki her değeri alabilen ve herhangi bir tek değerin olasılığı sıfır olan rastgele değişken.
- Olasılık yoğunluk fonksiyonu (PDF)
- $f \ge 0$, $\int f = 1$ ve $P(a < X < b) = \int_a^b f$ olan fonksiyon; olasılık alandır, yükseklik değil.
- Birikimli dağılım fonksiyonu (CDF)
- $F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$; sürekli, azalmayan ve $f = F'$ olan fonksiyon.
- Normalizasyon sabiti
- $f(x) = k\,s(x)$ için toplam alanı 1 yapan $k^* = 1/\int s$ değeri.
- Yüzdelik değer (quantile)
- $F(x_p) = p$ olan $x_p$; $p = 0{,}5$ için medyan.
- Yoğunluk (density)
- Birim uzunluğa düşen olasılık kütlesi; 1'i aşabilir ve birimi $1/[x]$'tir.
- Alan argümanı
- $P(X = a) = \lim_{n} P(a - \tfrac{1}{n} < X < a + \tfrac{1}{n}) = 0$; sürekli RD'de tek noktanın olasılığı sıfırdır.
Örnek soru
$X$, olasılık yoğunluk fonksiyonu $f$ olan sürekli bir rastgele değişkendir. Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
- $f(x)$, $X$'in $x$ değerini alma olasılığıdır.
- Her $x$ için $f(x) \le 1$ olmak zorundadır.
- $P(a < X < b)$ ile $P(a \le X \le b)$ birbirinden farklıdır.
- $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx$ değeri 1'den büyük olabilir.
- Her $a$ için $P(X = a) = 0$ olduğundan $P(a < X < b) = P(a \le X \le b)$ olur.
Doğru cevap: E
Çözüm
1. Sürekli $X$ için $P(X = a) = \int_a^a f(x)\,dx = 0$ (alan argümanı).
2. Bu yüzden $a$ ve $b$ noktalarını dahil etmek ya da etmemek olasılığı değiştirmez: $P(a < X < b) = P(a \le X \le b)$.
3. $f(x)$ olasılık değil yoğunluktur ve 1'i aşabilir ($f(x) = 2$, $0 < x < \tfrac{1}{2}$); toplam alan ise her zaman tam 1'dir.
Cevap: E. A seçeneği kesikli PMF'nin tanımıdır; C seçeneği de kesikli durumdan gelen bir alışkanlıktır (orada fark $f(a)$ kadardır).