İstatistik ve Olasılık · 2. Ünite: Olasılık Kuramı
Olasılığın Aksiyomları ve Kuralları
Olasılık, "şansın ölçüsü" gibi belirsiz bir sezgi olarak kalmaz; üç basit aksiyomdan kesin bir matematiksel kurama dönüşür. Tümleyen kuralı, toplama kuralı, Boole eşitsizliği gibi bütün hesap araçları bu üç aksiyomdan türetilir. Konunun sonunda bir olasılık atamasının geçerli olup olmadığını sınayabilecek, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ kuralını ispatlayıp üç olaya genişletebilecek, verilen kısmi bilgilerden bölge olasılıklarını bulabilecek ve eşit olasılıklı uzaylarda sayma kurallarıyla olasılık hesaplayabileceksin.
Öğrenme hedefleri
- Kolmogorov'un üç aksiyomunu ($P(A)\ge0$, $P(S)=1$, ayrık olaylar için toplamsallık) söyler ve bir olasılık atamasının bu aksiyomlara uyup uymadığını gerekçeyle sınar.
- Aksiyomlardan $P(\varnothing)=0$, $P(A')=1-P(A)$, monotonluk ($A\subset B\Rightarrow P(A)\le P(B)$) ve $0\le P(A)\le1$ sonuçlarını adım adım ispatlar.
- $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ kuralını ispatlar, üç olay için kapsama–dışlama formülünü yazar ve ikili/üçlü kesişim bilgilerinden bölge olasılıklarını hesaplar.
- Verilen $P(A)$ ve $P(B)$ için $P(A\cap B)$'nin alabileceği değer aralığını $\max\{0,P(A)+P(B)-1\}\le P(A\cap B)\le\min\{P(A),P(B)\}$ ile bulur ve Boole eşitsizliğini yorumlar.
- De Morgan ve tümleyen kurallarıyla $P(A'\cap B')$, $P(A'\cup B')$ ve "tam olarak bir olay gerçekleşir" gibi olayların olasılığını hesaplar.
- Eşit olasılıklı uzaylarda permütasyon ve kombinasyonla olasılık hesaplar (doğum günü problemi, poker eli, komite seçimi).
Konu anlatımı
Motivasyon: Olasılığa Sayı Nasıl Atanır?
Aksiyomlar ve Doğrudan Sonuçları
Geçerli Atamalar, Fréchet Sınırları ve De Morgan
Eşit Olasılıklı Uzaylar ve Sayma
Çözümlü Örnekler
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Olasılık ölçüsü (probability measure)
- Olaylara $[0,1]$ aralığında sayı atayan ve üç aksiyomu sağlayan $P$ fonksiyonu.
- Kolmogorov aksiyomları
- $P(A)\ge0$, $P(S)=1$ ve ayrık olaylar için sayılabilir toplamsallık.
- Tümleyen kuralı
- $P(A')=1-P(A)$; "en az bir" tipi olaylarda çözümü kısaltır.
- Toplama kuralı (addition rule)
- $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$; ayrık olaylarda kesişim terimi 0'dır.
- Kapsama–dışlama (inclusion–exclusion)
- Birleşim olasılığını tekli terimleri ekleyip ikilileri çıkararak, üçlüleri tekrar ekleyerek bulma deseni.
- Boole eşitsizliği
- $P(\bigcup A_i)\le\sum P(A_i)$; birleşim olasılığının üst sınırı.
- Fréchet sınırları
- $P(A)$ ve $P(B)$ bilindiğinde $P(A\cap B)$'nin alabileceği aralık: $\max\{0,P(A)+P(B)-1\}$ ile $\min\{P(A),P(B)\}$ arası.
- Eşit olasılıklı uzay
- Her örnek noktanın $1/n(S)$ olasılığı taşıdığı sonlu model; $P(A)=n(A)/n(S)$.
- Doğum günü problemi
- $n$ kişide en az iki kişinin doğum gününün aynı olma olasılığı; $n=23$ için $\approx0{,}507$.
Örnek soru
$S=\{a,b,c\}$ örneklem uzayında aşağıdaki atamalardan hangisi geçerli bir olasılık atamasıdır?
- $P(a)=0{,}5,\ P(b)=0{,}3,\ P(c)=0{,}3$
- $P(a)=0{,}6,\ P(b)=-0{,}1,\ P(c)=0{,}5$
- $P(a)=0{,}4,\ P(b)=0{,}4,\ P(c)=0{,}1$
- $P(a)=P(b)=P(c)=1/4$
- $P(a)=0{,}5,\ P(b)=0{,}3,\ P(c)=0{,}2$
Doğru cevap: E
Çözüm
1. Geçerli atama için her değer $\ge0$ (Aksiyom 1) ve toplam $P(S)=1$ (Aksiyom 2) olmalıdır; $S$'nin elemanları ayrık olduğundan Aksiyom 3 toplamı verir.
2. A: $0{,}5+0{,}3+0{,}3=1{,}1\ne1$. B: $P(b)<0$. C: $0{,}4+0{,}4+0{,}1=0{,}9$. D: $3/4$.
3. E: $0{,}5+0{,}3+0{,}2=1$ ve hepsi negatif değil.
Cevap: E. A toplamı 1'in üstüne, C ve D altına çıkarır; B ise Aksiyom 1'i ihlal eder.