İstatistik ve Olasılık · 4. Ünite: Özel Kesikli Olasılık Dağılımları
Poisson Dağılımı ve Poisson Süreci
Bir santrale dakikada gelen çağrılar, bir kumaş metresindeki dokuma hataları, bir kavşakta bir günde meydana gelen kazalar, bir radyoaktif kaynağın saniyedeki bozunma sayısı: bunlar bir aralıkta (zaman, uzunluk, alan) gerçekleşen, nadir ve birbirinden bağımsız olayların sayılarıdır. Bu sayımların ortak modeli Poisson dağılımıdır ve tek bir $\lambda$ parametresiyle hem ortalamayı hem varyansı belirler. Konunun sonunda Poisson kütle fonksiyonunu binomun limiti olarak türetecek, $E[X] = \mathrm{Var}(X) = \lambda$ sonucunu gösterecek, Poisson sürecinin aksiyomlarından $N(t) \sim \text{Poisson}(\lambda t)$ sonucunu yorumlayacak, toplamsallık ve inceltme (thinning) özelliklerini kullanacak ve verinin Poisson'a uyup uymadığını varyans/ortalama oranıyla sınayacaksın.
Öğrenme hedefleri
- Bir sayım probleminin Poisson sürecinin koşullarını (bağımsız artışlar, sabit hız, eşzamanlı olay yokluğu) sağlayıp sağlamadığını değerlendirir ve $\lambda t$ ortalamasını belirler.
- Poisson kütle fonksiyonunu $\text{B}(n, \lambda/n)$ dağılımının $n \to \infty$ limiti olarak türetir; $\sum_x e^{-\lambda}\lambda^x/x! = 1$ ve $E[X] = \mathrm{Var}(X) = \lambda$ sonuçlarını seri açılımıyla gösterir.
- $P(X = x)$, $P(X \le x)$ ve $P(X \ge x)$ olasılıklarını doğrudan ve birikimli Poisson tablosundan hesaplar; aralık uzunluğu değiştiğinde $\lambda$'yı $\lambda t$ olarak ölçekler.
- Binom–Poisson yaklaşımını ($n$ büyük, $p$ küçük, $\lambda = np$) uygular, yaklaşımın hatasını $\mathrm{Var}_{\text{binom}} = \lambda(1-p)$ ile yorumlar ve geçerlilik kuralını ($n \ge 20$, $p \le 0{,}05$) kullanır.
- Bağımsız Poisson değişkenlerinin toplamının Poisson olduğunu, Poisson olayların inceltilmesinin yine Poisson verdiğini ve olaylar arası sürenin $P(T > t) = e^{-\lambda t}$ olduğunu kullanır; varyans/ortalama oranı ile aşırı yayılmayı tanır.
Konu anlatımı
Motivasyon: Nadir Olayların Sayımı ve Poisson Süreci
Poisson Kütle Fonksiyonunun Türetilmesi
Ortalama ve Varyans: İkisi de Lambda
Binom–Poisson Yaklaşımı
Poisson Sürecinin Özellikleri: Toplamsallık, İnceltme, Bekleme Süresi
Çözümlü Örnek ve Sınır Durumları
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Poisson dağılımı (Poisson distribution)
- Bir aralıktaki olay sayısının dağılımı: $p(x;\lambda) = e^{-\lambda}\lambda^x/x!$, $x = 0, 1, 2, \dots$; $E = \mathrm{Var} = \lambda$.
- Poisson süreci (Poisson process)
- Bağımsız artışlı, sabit hızlı ve eşzamanlı olay içermeyen sayım süreci; $N(t) \sim \text{Poisson}(\lambda t)$.
- Olay hızı (rate), $\lambda$
- Birim zamandaki (uzunluk, alan) ortalama olay sayısı; $t$ birimlik aralık için ortalama $\lambda t$.
- Poisson yaklaşımı
- $n$ büyük, $p$ küçük iken $B(n,p) \approx \text{Poisson}(np)$; kural: $n \ge 20$, $p \le 0{,}05$.
- Toplamsallık (additivity)
- Bağımsız Poisson değişkenlerin toplamı, parametrelerin toplamıyla Poisson'dur.
- İnceltme (thinning)
- Poisson olayların her birini bağımsız olarak $p$ olasılıkla seçmek; seçilenler $\text{Poisson}(\lambda p)$ olur.
- Olaylar arası süre (interarrival time)
- Ardışık olaylar arasındaki süre; bağımsız ve ortalaması $1/\lambda$ olan üstel dağılımlıdır, $P(T > t) = e^{-\lambda t}$.
- Aşırı yayılma (overdispersion)
- Varyansın ortalamadan büyük olması ($s^2/\bar{x} > 1$); Poisson'un bağımsızlık ya da sabit hız varsayımının bozulduğunu işaret eder.
Örnek soru
$X \sim \text{Poisson}(\lambda = 3)$ olduğuna göre $P(X = 2)$ kaçtır?
- $0{,}0498$
- $0{,}1494$
- $0{,}4232$
- $0{,}2240$
- $0{,}5768$
Doğru cevap: D
Çözüm
1. $P(X = x) = \dfrac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}$ ile $\lambda = 3$, $x = 2$.
2. $P(X = 2) = \dfrac{e^{-3}\cdot 3^2}{2!} = \dfrac{0{,}04979 \cdot 9}{2} = 0{,}2240$.
Cevap: D. $0{,}0498 = P(X = 0) = e^{-3}$ ve $0{,}1494 = P(X = 1)$ komşu değerlerdir. $0{,}4232 = P(X \le 2)$ birikimli, $0{,}5768 = P(X \ge 3)$ ise tümleyendir.