İstatistik ve Olasılık · 5. Ünite: Özel Sürekli Olasılık Dağılımları
Normal Dağılım ve Özellikleri
Boy ve kilo ölçümlerinden ölçüm hatalarına, üretim toleranslarından sınav puanlarına kadar pek çok nicelik çan biçimli bir kümelenme gösterir; bunun nedeni birçok küçük bağımsız etkinin toplanmasıdır (merkezi limit teoremi). Normal dağılım istatistiğin merkezi dağılımıdır: güven aralıkları, hipotez testleri ve regresyon hep ona dayanır. Bu konuda yoğunluğun neden bu biçimde olduğunu, ortalama ve varyansın nasıl türetildiğini, doğrusal dönüşümler ve bağımsız toplamlar altında dağılımın nasıl davrandığını ve $68$–$95$–$99{,}7$ kuralının sayısal anlamını öğrenecek; bu bilgilerle gerçek veriler üzerinde kuantil ve olasılık hesapları yapabileceksin.
Öğrenme hedefleri
- Normal yoğunluğunu $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}$ olarak yazar; simetri, tepe noktası ve dönüm noktalarının ($\mu \pm \sigma$) konumunu türevle gösterir.
- Gauss integralinden yoğunluğun $1$'e integre olduğunu ve moment üreten fonksiyondan $E[X] = \mu$, $\mathrm{Var}(X) = \sigma^2$ sonuçlarını türetir.
- $\mu$ ve $\sigma$'nın eğrinin konumuna ve genişliğine etkisini açıklar; $\mu\pm k\sigma$ aralıklarının olasılıklarını ($\%68{,}27$; $\%95{,}45$; $\%99{,}73$) yorumlar.
- $Y = aX + b$ dönüşümünün $N(a\mu + b,\ a^2\sigma^2)$ olduğunu gösterir ve bağımsız normallerin toplam ve farkının dağılımını bulur.
- Verilen olasılıktan eşik değeri (kuantil) bulur ve iki koşuldan $\mu$, $\sigma$ parametrelerini çözer.
- Korelasyonsuzluk–bağımsızlık ve toplam–normallik konusundaki yaygın yanılgıları karşı örneklerle çürütür.
Konu anlatımı
Motivasyon: Çan Eğrisi Nereden Gelir?
Yoğunluk, Normalizasyon ve Eğrinin Geometrisi
Moment Üreten Fonksiyon, Ortalama ve Varyans
Standartlaştırma, Doğrusal Dönüşüm ve Bağımsız Toplamlar
Çözümlü Örnekler
Sınır Durumları ve Dağılımın Sınırları
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Normal (Gauss) dağılım
- Yoğunluğu $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}$ olan simetrik çan biçimli sürekli dağılım; $N(\mu,\sigma^2)$ ile gösterilir.
- Standart normal dağılım
- $\mu=0$, $\sigma=1$ olan $N(0,1)$; her normal değişken $Z = (X-\mu)/\sigma$ ile buna dönüşür.
- Dönüm noktası (inflection point)
- Normal yoğunlukta eğriliğin işaret değiştirdiği $x = \mu \pm \sigma$ noktaları.
- Moment üreten fonksiyon (mgf)
- $M_X(t) = E[e^{tX}]$; normal için $\exp(\mu t + \sigma^2 t^2/2)$ olup dağılımı tek biçimde belirler.
- Standartlaştırma (z-skoru)
- $z = (x-\mu)/\sigma$; değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu ölçer.
- Empirik kural ($68$–$95$–$99{,}7$)
- Normalde $\mu \pm 1\sigma$, $2\sigma$, $3\sigma$ aralıklarının olasılığı sırasıyla $0{,}6827$, $0{,}9545$, $0{,}9973$.
- Kuantil (quantile)
- $P(X \le x_p) = p$ koşulunu sağlayan $x_p = \mu + \sigma z_p$ değeri.
- Bileşik normal (jointly normal)
- Doğrusal birleşimlerinin hepsi normal olan değişkenler; bu durumda korelasyonsuzluk bağımsızlığa eşdeğerdir.
Örnek soru
$X \sim N(5, 2^2)$ olsun ($\mu = 5$, $\sigma = 2$). Yoğunluk eğrisinin dönüm noktaları hangi $x$ değerlerindedir?
- $x = 1$ ve $x = 9$
- $x = 3$ ve $x = 7$
- $x = 4$ ve $x = 6$
- $x = 2{,}5$ ve $x = 7{,}5$
- Yalnızca $x = 5$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. $f'(x) = -\dfrac{x-\mu}{\sigma^2}f(x)$ ve $f''(x) = f(x)\left[\dfrac{(x-\mu)^2}{\sigma^4} - \dfrac{1}{\sigma^2}\right]$.
2. $f''(x) = 0 \iff (x-\mu)^2 = \sigma^2 \iff x = \mu \pm \sigma$.
3. $\mu = 5$, $\sigma = 2$ için $x = 3$ ve $x = 7$.
Cevap: B. $1$ ve $9$, $\mu \pm 2\sigma$ ya da yanlışlıkla $\mu \pm \sigma^2$ ($\sigma^2 = 4$) alınırsa çıkar. $x = 5$ ise tepe (maksimum) noktasıdır, dönüm noktası değildir.