İstatistik ve Olasılık · 5. Ünite: Özel Sürekli Olasılık Dağılımları
Sürekli Düzgün (Uniform) Dağılım
Otobüs durağına rastgele bir anda varan yolcunun bekleme süresi, ölçüm aletinin en yakın birime yuvarlama hatası ya da bilgisayarın ürettiği rassal sayılar: bu olayların ortak noktası, bir aralıktaki hiçbir noktanın ötekilere göre ayrıcalıklı olmamasıdır. Sürekli düzgün dağılım bu "tam bir cehalet" durumunun matematiksel modelidir ve olasılık hesabının en yalın örneği olduğu kadar rassal sayı üretiminin de temelidir. Konunun sonunda yoğunluğu, birikimli dağılımı, ortalama ve varyansı türetebilecek, aralık ve koşullu olasılıkları hesaplayabilecek ve $U(0,1)$ rassal sayısından başka dağılımlar üretmeyi açıklayabileceksin.
Öğrenme hedefleri
- $U(a,b)$ yoğunluğunun $f(x) = 1/(b-a)$ olduğunu normalizasyon koşulundan türetir ve $P(c<X<d) = (d-c)/(b-a)$ ile aralık olasılıklarını hesaplar.
- Birikimli dağılım fonksiyonunu parçalı biçimde yazar, $p$-kuantilini $x_p = a + p(b-a)$ olarak bulur.
- $E[X] = (a+b)/2$ ve $\mathrm{Var}(X) = (b-a)^2/12$ sonuçlarını integralle türetir; verilen ortalama ve varyanstan uç noktaları geri çözer.
- $Y = \alpha + \beta X$ doğrusal dönüşümünün dağılımını belirler ve koşullu olasılıklarda (ör. $P(X > s+t \mid X > s)$) düzgün dağılımın belleksiz olmadığını gösterir.
- Olasılık integral dönüşümü $F(X) \sim U(0,1)$ ve ters dönüşüm yöntemiyle $U(0,1)$ rassal sayısından verilen bir dağılımdan örnek üretir.
- $P(X = x) = 0$, yoğunluğun 1'i aşabilmesi ve uç noktaların olasılığa etkisizliği gibi sınır durumlarını doğru yorumlar.
Konu anlatımı
Motivasyon: Bilgisizliğin Olasılık Modeli
Tanım ve Yoğunluk Fonksiyonu
Birikimli Dağılım Fonksiyonu ve Kuantiller
Ortalama, Varyans ve Doğrusal Dönüşümler
Koşullu Olasılık ve Düzgün Dağılımın Belleksizliği Olmaması
Olasılık İntegral Dönüşümü ve Rassal Sayı Üretimi
Çözümlü Örnekler
Sınır Durumları ve Simülasyonda Gözlem
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Sürekli düzgün dağılım (uniform)
- $[a,b]$ üzerinde yoğunluğu sabit $1/(b-a)$ olan dağılım; olasılık yalnızca aralığın uzunluğuna bağlıdır.
- Olasılık yoğunluk fonksiyonu (pdf)
- Altındaki alanın olasılık verdiği, toplam alanı $1$ olan fonksiyon; değeri $1$'i aşabilir ve kendisi olasılık değildir.
- Birikimli dağılım fonksiyonu (cdf)
- $F(x) = P(X \le x)$; düzgün dağılımda $[a,b]$ üzerinde $(x-a)/(b-a)$ doğrusudur.
- Kuantil (quantile)
- $F(x_p) = p$ koşulunu sağlayan $x_p$ değeri; düzgün dağılımda $x_p = a + p(b-a)$.
- Standart düzgün dağılım
- $U(0,1)$; yoğunluğu $[0,1]$ üzerinde $1$, ortalaması $1/2$, varyansı $1/12$.
- Belleksizlik (memoryless)
- $P(X>s+t \mid X>s) = P(X>t)$ özelliği; düzgün dağılımda sağlanmaz, üstel dağılımda sağlanır.
- Olasılık integral dönüşümü
- $X$'in cdf'i $F$ ise $F(X) \sim U(0,1)$; ters yönde $F^{-1}(U)$ ile istenen dağılımdan örnek üretilir.
- Ters dönüşüm yöntemi
- $U(0,1)$ rassal sayısını $F^{-1}$ ile dönüştürerek $F$ cdf'li dağılımdan değer üreten yöntem.
Örnek soru
Bir otobüs durağa her $20$ dakikada bir gelir ve yolcunun varış anı rassaldır; bekleme süresi $X \sim U(0,20)$ dakikadır. Yolcunun $2$ ile $6$ dakika arasında beklemesi olasılığı kaçtır?
- 0,10
- 0,30
- 0,20
- 0,40
- 0,80
Doğru cevap: C
Çözüm
1. $X \sim U(0,20)$ olduğundan $f(x) = 1/20$, $0 \le x \le 20$.
2. Düzgün dağılımda aralık olasılığı uzunluk oranıdır: $P(2 < X < 6) = \dfrac{6-2}{20-0} = \dfrac{4}{20}$.
3. Sonuç $0{,}20$.
Cevap: C. $0{,}10$ yalnızca $P(X<2)$, $0{,}30$ ise yalnızca $P(X<6)$ değerini verir; aralığın alt ucunu çıkarmayı unutmak bu hatalara yol açar. $0{,}80 = 1 - 0{,}20$ ise tümleyen olayın olasılığıdır.