İstatistik ve Olasılık · 2. Ünite: Olasılık Kuramı
Örneklem Uzayı ve Olaylar
Bir parayı havaya atmadan önce sonucu bilemeyiz, ama olası sonuçların listesini yazabiliriz. Olasılık kuramı, tam da bu listeyi (örneklem uzayı) ve listenin alt kümelerini (olaylar) kesin bir dille tanımlamakla başlar; sonraki bütün olasılık hesapları bu kümeler üzerinde yapılır. Konunun sonunda bir rasgele deneyin örneklem uzayını eksiksiz kurabilecek, olayları küme işlemleriyle ifade edip De Morgan kurallarıyla sadeleştirebilecek, sayma kurallarıyla eşit olasılıklı uzaylarda eleman sayabilecek ve $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$ ilişkisini kullanabileceksin.
Öğrenme hedefleri
- Rasgele bir deney (iki zar, üç para atışı, deste çekimi, ölçülen ömür) için örneklem uzayını liste, ağaç diyagramı ya da küme gösterimiyle eksiksiz yazar ve sonlu, sayılabilir sonsuz, sürekli uzayları ayırt eder.
- Bir olayı sözel tanımdan kümeye çevirir; birleşim, kesişim, tümleyen ve fark işlemleriyle yeni olaylar kurar, ayrık (birbirini dışlayan) olayları belirler.
- De Morgan kurallarını $(A\cup B)'=A'\cap B'$ ve $(A\cap B)'=A'\cup B'$ kullanarak olay ifadelerini sadeleştirir ve Venn diyagramıyla doğrular.
- Çarpma kuralı, permütasyon ve kombinasyonla örneklem uzayındaki ve olaydaki sonuç sayısını hesaplar; eşit olasılıklı uzayda $P(A)=n(A)/n(S)$ değerini bulur.
- Kapsama–dışlama ilkesini ($n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$) türetir ve iki, üç olaylı sayma problemlerinde uygular.
- Verilen bir örneklem uzayında sonuçların gerçekten eş olasılıklı olup olmadığını sorgular; ayırt edilemeyen nesneler ve sıralı/sırasız sayım hatalarını yakalar.
Konu anlatımı
Motivasyon: Rasgele Deney ve Örneklem Uzayı
Olaylar ve Küme İşlemleri
Sayma Kuralları
Çözümlü Örnekler
Sınır Durumları, Grafik ve Tablo Okuma
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Rasgele deney (random experiment)
- Aynı koşullarda tekrarlanabilen, sonucu önceden kesin bilinemeyen ama olası sonuçları bilinen işlem.
- Örneklem uzayı (sample space)
- Bir deneyin olası bütün sonuçlarının kümesi; $S$ ile gösterilir. Eksiksiz ve ayrık sonuçlardan oluşmalıdır.
- Olay (event)
- Örneklem uzayının bir alt kümesi. Deneyin sonucu bu kümenin içindeyse olay gerçekleşmiş sayılır.
- Ayrık (birbirini dışlayan) olaylar
- Kesişimi boş olan olaylar: $A\cap B=\varnothing$; aynı anda gerçekleşemezler.
- Tümleyen (complement)
- $A'$: $A$'da olmayan bütün sonuçlar; $n(A')=n(S)-n(A)$.
- De Morgan kuralları
- $(A\cup B)'=A'\cap B'$ ve $(A\cap B)'=A'\cup B'$.
- Çarpma kuralı (multiplication rule)
- Ardışık aşamaların seçim sayıları çarpılarak toplam yol sayısı bulunur.
- Permütasyon ve kombinasyon
- Sıralı seçim $P(n,r)=n!/(n-r)!$, sırasız seçim $\binom{n}{r}=P(n,r)/r!$.
- Eşit olasılıklı uzay
- Sonlu $S$'de her örnek noktanın aynı olasılığı taşıdığı model; $P(A)=n(A)/n(S)$.
- Kapsama–dışlama ilkesi
- $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$; ortak elemanların iki kez sayılması düzeltilir.
Örnek soru
Önce bir madeni para, ardından bir zar atılıyor. Örneklem uzayında kaç farklı sonuç vardır?
- 6
- 8
- 12
- 36
- 64
Doğru cevap: C
Çözüm
1. Para atışının 2, zar atışının 6 sonucu vardır.
2. Aşamalar ardışık olduğundan çarpma kuralı uygulanır: $2\cdot 6=12$.
3. Sonuçlar $(Y,1),(Y,2),\dots,(T,6)$ biçiminde listelenir.
Cevap: 12. Sonuçları toplamak ($2+6=8$) yanlıştır: ardışık aşamalarda yollar çarpılır. $36$ iki zarın, $64=2^6$ ise altı para atışının sonuç sayısıdır.