Matematik I · 7. Ünite
7. Ünite Deneme Sınavı: Diziler ve Seriler
20 çoktan seçmeli soru · 5 konu · cevaplar ve çözümler sınavı bitirince
Sınavdaki konular
- Diziler ve Yakınsaklık Kavramı (4 soru)
- Pozitif Terimli Seriler ve Testler (4 soru)
- Karşılaştırma ve Oran/Kök Testleri (4 soru)
- Alterne Seriler ve Mutlak Yakınsaklık (4 soru)
- Kuvvet Serileri, Taylor ve Maclaurin (4 soru)
Deneme sınavı nasıl işler?
- Ünitenin her konusundan soru gelir; sorular konulara eşit dağılır.
- Cevaplar ve çözümler sınav sırasında görünmez; "Sınavı bitir" deyince hepsi birlikte açılır.
- Doğru sayına göre geri bildirim alırsın; yanlış yaptığın konulara tek tıkla dönersin.
- En iyi sonucunu geçen her doğru için 3 XP, %90'a ulaşınca 25 XP bonus ve deneme rozetleri kazanırsın.
- Sınavı sıfırlayıp yeni sorularla yeniden çözebilirsin; sıfırlamazsan sonuçların işaretli kalır.
Örnek sorular
Soru 1
$a_n = \dfrac{\cos(n^3)}{\sqrt{n}}$ dizisinin limiti nedir?
- $0$
- $1$
- $-1$
- Limit yoktur; dizi sürekli salınır.
- $\infty$
Doğru cevap: A
Çözüm
1. $\cos(n^3)$ her $n$ için $[-1, 1]$ aralığındadır; bu terimin kendisinin limiti olmasa bile sınırlı olması yeter.
2. $-\dfrac{1}{\sqrt n} \le \dfrac{\cos(n^3)}{\sqrt n} \le \dfrac{1}{\sqrt n}$ ve iki sınır da $0$'a gider.
3. Sıkıştırma Teoremi'ne göre limit $\mathbf{0}$'dır.
Çeldirici "salınır, limit yok" şıkkı pay salındığı için payı limit sanma hatasıdır; payda sonsuza giderken sınırlı salınım genliği sıfıra indirir.
Soru 2
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{100^n}$ serisi için hangisi doğrudur?
- Oran testine göre $\rho = \dfrac{1}{100}$; seri yakınsar.
- Oran testine göre $\rho=\infty$; seri ıraksar.
- Oran testine göre $\rho = 1$; test sonuçsuzdur.
- Seri yakınsar, çünkü $100^n$ üstel olarak büyür ve $n!$'i bastırır.
- Seri yakınsar, çünkü $\dfrac{n!}{100^n}$ ilk terimlerde çok küçüktür.
Doğru cevap: B
Çözüm
1. $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{(n+1)!}{n!}\cdot\dfrac{100^n}{100^{n+1}} = \dfrac{n+1}{100} \to \infty$.
2. $\rho > 1$ olduğu için seri ıraksar. Terimler $n \approx 100$'den sonra büyümeye başlar ve $0$'a gitmez; faktöriyel *her* üstelden hızlıdır.
$\rho=\tfrac{1}{100}$ çeldiricisi $(n+1)$ çarpanını göz ardı edip yalnızca $1/100$'ü almaktır. "İlk terimler küçük" gözlemi limitle ilgisizdir: yakınsaklık kuyruğun davranışına bağlıdır.
Sınavın tamamı Matematik I dersini derslerine ekleyince açılır.