Lineer Cebir · 4. Ünite
4. Ünite Deneme Sınavı: İç Çarpım Uzayları (Inner Product Spaces)
20 çoktan seçmeli soru · 4 konu · cevaplar ve çözümler sınavı bitirince
Sınavdaki konular
- Standart İç Çarpım, Uzunluk (Norm) ve Uzaklık (5 soru)
- Açı ve Ortogonallik (Diklik) (5 soru)
- Gram-Schmidt Ortogonalleştirme Süreci ve QR Ayrışımı (5 soru)
- En Küçük Kareler Yöntemi (Least Squares Approximation) (5 soru)
Deneme sınavı nasıl işler?
- Ünitenin her konusundan soru gelir; sorular konulara eşit dağılır.
- Cevaplar ve çözümler sınav sırasında görünmez; "Sınavı bitir" deyince hepsi birlikte açılır.
- Doğru sayına göre geri bildirim alırsın; yanlış yaptığın konulara tek tıkla dönersin.
- En iyi sonucunu geçen her doğru için 3 XP, %90'a ulaşınca 25 XP bonus ve deneme rozetleri kazanırsın.
- Sınavı sıfırlayıp yeni sorularla yeniden çözebilirsin; sıfırlamazsan sonuçların işaretli kalır.
Örnek sorular
Soru 1
$\mathbf{u}=(1,2,-1)$ ve $\mathbf{v}=(3,-1,4)$ vektörlerinin standart iç çarpımı $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$ kaçtır?
- $-3$
- $1$
- $5$
- $9$
- $(3,-2,-4)$
Doğru cevap: A
Çözüm
Cevap: $-3$
1. İç çarpım karşılıklı bileşenlerin çarpımlarının toplamıdır: $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$.
2. Çarpımları hesapla: $1\cdot3=3$, $\;2\cdot(-1)=-2$, $\;(-1)\cdot4=-4$.
3. Topla: $3-2-4=\mathbf{-3}$.
Çeldiriciler: $5$ son terimin işaretini yanlış almaktır ($3-2+4$), $1$ ikinci terimin işaretini yanlış almaktır ($3+2-4$), $9$ mutlak değerlerin toplamıdır, $(3,-2,-4)$ ise çarpımları toplamadan bırakmaktır; oysa iç çarpım bir skalerdir, vektör değildir.
Soru 2
$u=(2,-2,1)$ vektörü ile aynı yöndeki birim vektör $e$ aşağıdakilerden hangisidir?
- $\left(\tfrac29,-\tfrac29,\tfrac19\right)$
- $\left(\tfrac25,-\tfrac25,\tfrac15\right)$
- $\left(\tfrac23,-\tfrac23,-\tfrac13\right)$
- $\left(\tfrac23,-\tfrac23,\tfrac13\right)$
- $\left(\tfrac49,-\tfrac49,\tfrac19\right)$
Doğru cevap: D
Çözüm
Cevap: $\left(\tfrac23,-\tfrac23,\tfrac13\right)$
1. Birim vektör $e=u/\|u\|$ ile bulunur.
2. $\|u\|=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt9=3$.
3. $e=\tfrac13(2,-2,1)=\mathbf{\left(\tfrac23,-\tfrac23,\tfrac13\right)}$. Kontrol: $\tfrac49+\tfrac49+\tfrac19=1$.
Çeldiriciler: $\tfrac29,\ldots$ $\|u\|^2=9$'a bölmektir; $\tfrac25,\ldots$ bileşenlerin mutlak değerleri toplamına ($2+2+1=5$) bölmektir; $\left(\tfrac23,-\tfrac23,-\tfrac13\right)$ birim uzunlukludur ama $u$ ile aynı yönde değildir (son işaret yanlış); $\tfrac49,\ldots$ bileşenlerin karesini almaktır.
Sınavın tamamı Lineer Cebir dersini derslerine ekleyince açılır.