Lineer Cebir · 7. Ünite
7. Ünite Deneme Sınavı: İleri Konular (Simetrik Matrisler ve Kuadratik Formlar)
20 çoktan seçmeli soru · 4 konu · cevaplar ve çözümler sınavı bitirince
Sınavdaki konular
- Ortogonal Matrisler ve Simetrik Matrislerin Köşegenleştirilmesi (5 soru)
- Kuadratik Formlar ve Eksen Dönüşümleri (5 soru)
- Pozitif/Negatif Tanımlı Matrisler (5 soru)
- Tekil Değer Ayrışımı (SVD - Singular Value Decomposition) (Giriş) (5 soru)
Deneme sınavı nasıl işler?
- Ünitenin her konusundan soru gelir; sorular konulara eşit dağılır.
- Cevaplar ve çözümler sınav sırasında görünmez; "Sınavı bitir" deyince hepsi birlikte açılır.
- Doğru sayına göre geri bildirim alırsın; yanlış yaptığın konulara tek tıkla dönersin.
- En iyi sonucunu geçen her doğru için 3 XP, %90'a ulaşınca 25 XP bonus ve deneme rozetleri kazanırsın.
- Sınavı sıfırlayıp yeni sorularla yeniden çözebilirsin; sıfırlamazsan sonuçların işaretli kalır.
Örnek sorular
Soru 1
$Q$, $n\times n$ gerçel bir ortogonal matris olsun. Aşağıdakilerden hangisi her durumda doğrudur?
- $Q^{-1} = Q^T$
- $\det Q = 1$
- $Q = Q^T$
- $Q$'nun tüm özdeğerleri gerçeldir.
- $Q$'nun köşegen elemanlarının hepsi $1$'dir.
Doğru cevap: A
Çözüm
Cevap: $Q^{-1} = Q^T$
1. Tanım gereği $Q^TQ = I$ ve $Q$ kare olduğundan $Q^T$ aynı zamanda sağ terstir: $Q^{-1} = Q^T$.
2. $\det Q = \pm1$'dir\; $-1$ olabilir (yansımalar). B her zaman doğru değildir.
3. Simetri gerekmez: $90^\circ$ dönme matrisi $\begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix}$ ortogonaldir ama simetrik değildir (C yanlış) ve özdeğerleri $\pm i$'dir (D yanlış). Aynı matrisin köşegeni sıfırdır (E yanlış).
Cevap: A. B seçeneği en güçlü çeldiricidir: determinantın $+1$ olduğu yalnızca dönmeler için doğrudur.
Soru 2
$A=\begin{pmatrix}3&1\\1&2\end{pmatrix}$ matrisi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- Negatif tanımlıdır.
- Pozitif tanımlıdır.
- Belirsizdir.
- Yalnızca pozitif yarı tanımlıdır (tanımlı değildir).
- Negatif yarı tanımlıdır.
Doğru cevap: B
Çözüm
Cevap: Pozitif tanımlıdır.
1. Önder minörleri hesapla: $\Delta_1=3>0$ ve $\Delta_2=3\cdot2-1^2=5>0$.
2. Sylvester ölçütüne göre bütün önder minörler pozitif olduğundan $A$ pozitif tanımlıdır.
3. Kontrol: özdeğerler $\lambda=\tfrac{5\pm\sqrt5}{2}\approx1{,}38$ ve $3{,}62$; ikisi de pozitif. Kuadratik form tam kareye tamamlanır: $Q=3x^2+2xy+2y^2=3\big(x+\tfrac y3\big)^2+\tfrac53y^2$ ve $\vec{x}\ne\vec{0}$ için kesin pozitiftir.
"Yarı tanımlı" çeldiricisi $\det A=0$ olsaydı doğru olurdu; burada $\det A=5\neq0$.
Sınavın tamamı Lineer Cebir dersini derslerine ekleyince açılır.