Lineer Cebir · 3. Ünite
3. Ünite Deneme Sınavı: Vektör Uzayları (Vector Spaces)
20 çoktan seçmeli soru · 5 konu · cevaplar ve çözümler sınavı bitirince
Sınavdaki konular
- Reel Vektör Uzayları ve Alt Uzaylar (Subspaces) (4 soru)
- Lineer Bağımsızlık ve Lineer Kombinasyonlar (Span) (4 soru)
- Taban (Basis) ve Boyut (Dimension) Kavramları (4 soru)
- Bir Matrisin Satır Uzayı, Sütun Uzayı ve Sıfır Uzayı (Null Space) (4 soru)
- Taban Değişimi (Change of Basis) ve Geçiş Matrisleri (4 soru)
Deneme sınavı nasıl işler?
- Ünitenin her konusundan soru gelir; sorular konulara eşit dağılır.
- Cevaplar ve çözümler sınav sırasında görünmez; "Sınavı bitir" deyince hepsi birlikte açılır.
- Doğru sayına göre geri bildirim alırsın; yanlış yaptığın konulara tek tıkla dönersin.
- En iyi sonucunu geçen her doğru için 3 XP, %90'a ulaşınca 25 XP bonus ve deneme rozetleri kazanırsın.
- Sınavı sıfırlayıp yeni sorularla yeniden çözebilirsin; sıfırlamazsan sonuçların işaretli kalır.
Örnek sorular
Soru 1
Bir $V$ vektör uzayında "her $u\in V$ için $u+(-u)=\mathbf{0}$ olacak biçimde bir $-u\in V$ vardır" ifadesi hangi aksiyomdur?
- Sıfır vektörün varlığı
- Toplamanın birleşme özelliği
- Skalerler üzerinde dağılma özelliği
- Toplamsal ters elemanın varlığı
- Birim skaler özelliği ($1\cdot u=u$)
Doğru cevap: D
Çözüm
Cevap: Toplamsal ters elemanın varlığı
1. Verilen ifade her vektör için, toplanınca sıfır vektörü veren bir ters vektör bulunduğunu söyler. Bu, A5 aksiyomudur.
2. Sıfır vektörün varlığı ($u+\mathbf{0}=u$) farklı bir aksiyomdur: burada $u$'yu değiştirmeyen eleman aranır, sıfırı veren eleman değil.
3. Birleşme $(u+v)+w=u+(v+w)$, dağılma $(c+d)u=cu+du$ ve $1\cdot u=u$ ifadelerinin hiçbirinde $-u$ geçmez.
En sık karıştırılan çeldirici sıfır vektör aksiyomudur; ikisi de $\mathbf{0}$ içerir ama biri tek bir eleman ($\mathbf{0}$), diğeri her vektöre özel bir eleman ($-u$) ister.
Soru 2
Derecesi en çok $3$ olan tüm polinomların oluşturduğu $\mathbb{P}_3$ vektör uzayının boyutu kaçtır?
- $4$
- $3$
- $5$
- $6$
- Sonsuz
Doğru cevap: A
Çözüm
Cevap: $4$
1. $\mathbb{P}_3$'ün standart tabanı $\{1,\ x,\ x^2,\ x^3\}$'tür; her $a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$ polinomu bu dört polinomun tek türlü bir kombinasyonudur.
2. Tabanda $4$ vektör olduğundan $\dim\mathbb{P}_3=\mathbf{4}$. Genel kural: $\dim\mathbb{P}_n=n+1$.
Çeldiriciler: $3$, sabit terimi ($1$) unutup yalnızca derece sayısını saymaktır; $5$ ve $6$ gerçek bir tabanla ilişkilendirilemez; tüm polinomların uzayı $\mathbb{P}$ sonsuz boyutludur, ama derece sınırı olan $\mathbb{P}_3$ sonlu boyutludur.
Sınavın tamamı Lineer Cebir dersini derslerine ekleyince açılır.