Diferansiyel Denklemler · 2. Ünite
2. Ünite Deneme Sınavı: Birinci Mertebeden Denklemlerin Uygulamaları
20 çoktan seçmeli soru · 4 konu · cevaplar ve çözümler sınavı bitirince
Sınavdaki konular
- Nüfus Modelleri (Eksponansiyel ve Lojistik) (5 soru)
- Karışım Problemleri (5 soru)
- Newton'un Soğuma Yasası (5 soru)
- Serbest Düşme ve Dirençli Ortam Hareketi (5 soru)
Deneme sınavı nasıl işler?
- Ünitenin her konusundan soru gelir; sorular konulara eşit dağılır.
- Cevaplar ve çözümler sınav sırasında görünmez; "Sınavı bitir" deyince hepsi birlikte açılır.
- Doğru sayına göre geri bildirim alırsın; yanlış yaptığın konulara tek tıkla dönersin.
- En iyi sonucunu geçen her doğru için 3 XP, %90'a ulaşınca 25 XP bonus ve deneme rozetleri kazanırsın.
- Sınavı sıfırlayıp yeni sorularla yeniden çözebilirsin; sıfırlamazsan sonuçların işaretli kalır.
Örnek sorular
Soru 1
$P' = 0{,}2\,P\left(1 - \dfrac{P}{500}\right)$ denkleminin denge noktaları ve kararlılıkları için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- $P^* = 0$ kararsız, $P^* = 500$ kararlı
- $P^* = 0$ kararlı, $P^* = 500$ kararsız
- $P^* = 0$ ve $P^* = 500$ ikisi de kararlı
- Tek denge $P^* = 500$ vardır ve kararlıdır
- $P^* = 250$ kararlı denge, $P^* = 500$ kararsız
Doğru cevap: A
Çözüm
1. $g(P) = 0{,}2P(1 - P/500) = 0$ denkleminden $P^* = 0$ ve $P^* = 500$.
2. $g'(P) = 0{,}2\,(1 - 2P/500)$. $g'(0) = 0{,}2 > 0$ olduğundan $P^* = 0$ kararsız; $g'(500) = -0{,}2 < 0$ olduğundan $P^* = 500$ kararlı.
3. Faz çizgisi: $0 < P < 500$ için $g > 0$ (artış), $P > 500$ için $g < 0$ (azalış). A
Çeldirici B ve E: kararlılık işareti ters okunmuş ya da $K/2$ denge sanılmıştır. $K/2$ yalnızca dönüm noktasıdır; orada $g \neq 0$'dır.
Soru 2
$100\,°\text{C}$'lik bir cisim $20\,°\text{C}$'lik odaya bırakılıyor ve 5 dakika sonra $60\,°\text{C}$ oluyor. Soğuma sabiti $k$ yaklaşık kaç $\text{dk}^{-1}$'dir?
- $0{,}139$
- $0{,}069$
- $0{,}102$
- $0{,}100$
- $0{,}277$
Doğru cevap: A
Çözüm
1. $\Delta T_0 = 100 - 20 = 80$ ve $\Delta T(5) = 60 - 20 = 40$.
2. $80e^{-5k} = 40$ olduğundan $e^{-5k} = \tfrac{1}{2}$ ve $k = \dfrac{\ln 2}{5} \approx 0{,}139\ \text{dk}^{-1}$.
Cevap: A. C seçeneği $\ln(100/60)/5$ ile (fark yerine $T$ üzerinden) bulunur; D seçeneği düşüşü doğrusal sanıp $8/80$ alır; B seçeneği yarı ömrü 10 dakika sayar; E seçeneği ise $2\ln 2/5$ ile fazladan 2 çarpanı getirir.
Sınavın tamamı Diferansiyel Denklemler dersini derslerine ekleyince açılır.