Diferansiyel Denklemler · 1. Ünite
1. Ünite Deneme Sınavı: Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler
20 çoktan seçmeli soru · 5 konu · cevaplar ve çözümler sınavı bitirince
Sınavdaki konular
- Temel Kavramlar ve Sınıflandırma (4 soru)
- Değişkenlerine Ayrılabilir Denklemler (4 soru)
- Lineer Denklemler ve İntegral Çarpanı (4 soru)
- Tam (Exact) Diferansiyel Denklemler (4 soru)
- Homojen, Bernoulli ve Riccati Denklemleri (4 soru)
Deneme sınavı nasıl işler?
- Ünitenin her konusundan soru gelir; sorular konulara eşit dağılır.
- Cevaplar ve çözümler sınav sırasında görünmez; "Sınavı bitir" deyince hepsi birlikte açılır.
- Doğru sayına göre geri bildirim alırsın; yanlış yaptığın konulara tek tıkla dönersin.
- En iyi sonucunu geçen her doğru için 3 XP, %90'a ulaşınca 25 XP bonus ve deneme rozetleri kazanırsın.
- Sınavı sıfırlayıp yeni sorularla yeniden çözebilirsin; sıfırlamazsan sonuçların işaretli kalır.
Örnek sorular
Soru 1
Aşağıdaki denklemlerden hangisi ikinci mertebeden lineer bir adi diferansiyel denklemdir?
- $x^2 y'' + e^{x} y' - y = \cos x$
- $y'' + y\,y' = 0$
- $y'' + \sin y = 0$
- $(y')^2 + y = x$
- $y' = y^2$
Doğru cevap: A
Çözüm
1. Lineerlik, $y$ ve türevlerinin yalnızca birinci kuvvette ve çarpımsız bulunması, katsayıların ise yalnızca $x$'e bağlı olmasıdır.
2. A şıkkında $y'', y', y$ birinci kuvvettedir; katsayılar $x^2$, $e^x$ ve $-1$ yalnızca $x$'e bağlıdır. En yüksek türev $y''$ olduğundan mertebe $2$: A şıkkı.
3. B'de $y\,y'$ çarpımı, C'de $\sin y$ var; ikisi de lineer olmayan terimlerdir. D ve E birinci mertebedendir ve ayrıca lineer değildir.
4. En güçlü çeldirici B'dir: ikinci mertebedir ama bilinmeyen fonksiyonla türevinin çarpımı lineerliği bozar. Katsayıda $e^x$ ya da $x^2$ bulunması ise lineerliği bozmaz.
Soru 2
$x\,y' + 3y = 6x^2$ denklemi $x > 0$ için çözülecektir. Doğru integral çarpanı hangisidir?
- $e^{3x}$
- $x^3$
- $x^{-3}$
- $3\ln x$
- $e^{3/x}$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. Önce standart biçime getirmek gerekir: $x$'e bölünce $y' + \dfrac{3}{x}\,y = 6x$, yani $p(x) = \dfrac{3}{x}$.
2. $\mu = e^{\int \frac{3}{x}dx} = e^{3\ln x} = x^3$: B şıkkı.
3. Kontrol: $(x^3 y)' = x^3 y' + 3x^2 y = x^2\,(x y' + 3y)$ olur; yani $\mu = x^3$ çarpımı sol tarafı çarpım türevine çevirir.
4. A şıkkı, $p = 3$ okuyup başkatsayıya bölmeyi unutmanın sonucudur; C şıkkı işaret hatası, D şıkkı üstel almamak, E şıkkı ise $p$'nin kendisini üste koymaktır.
Sınavın tamamı Diferansiyel Denklemler dersini derslerine ekleyince açılır.