Diferansiyel Denklemler · 6. Ünite
6. Ünite Deneme Sınavı: Diferansiyel Denklem Sistemleri
20 çoktan seçmeli soru · 5 konu · cevaplar ve çözümler sınavı bitirince
Sınavdaki konular
- Lineer Sistemlerin Temel Teorisi (4 soru)
- Sabit Katsayılı Homojen Lineer Sistemler (4 soru)
- Özdeğerler ve Özvektörler Yöntemi (4 soru)
- Faz Düzlemi (Phase Plane) ve Kritik Noktalar (4 soru)
- Sistemler İçin Parametrelerin Değişimi (4 soru)
Deneme sınavı nasıl işler?
- Ünitenin her konusundan soru gelir; sorular konulara eşit dağılır.
- Cevaplar ve çözümler sınav sırasında görünmez; "Sınavı bitir" deyince hepsi birlikte açılır.
- Doğru sayına göre geri bildirim alırsın; yanlış yaptığın konulara tek tıkla dönersin.
- En iyi sonucunu geçen her doğru için 3 XP, %90'a ulaşınca 25 XP bonus ve deneme rozetleri kazanırsın.
- Sınavı sıfırlayıp yeni sorularla yeniden çözebilirsin; sıfırlamazsan sonuçların işaretli kalır.
Örnek sorular
Soru 1
Katsayıları $(-\infty, \infty)$ üzerinde sürekli olan homojen bir lineer sistemin bir çözümü $t = 2$'de $\mathbf{x}(2) = \mathbf{0}$ koşulunu sağlıyor. Bu çözüm hakkında ne söylenebilir?
- $t > 2$ için sıfırdır, $t < 2$ için sıfırdan farklı olabilir.
- Yalnızca $t = 2$ anında sıfırdır, başka yerde sıfırdan farklıdır.
- $t = 2$'den sonra sınırsız büyür.
- Her $t$ için $\mathbf{x}(t) \equiv \mathbf{0}$ olur.
- $t = 2$'de sıfır olması, sistemin sabit katsayılı olduğunu gösterir.
Doğru cevap: D
Çözüm
1. Sıfır çözüm $\mathbf{x}\equiv\mathbf{0}$ aynı sistemi ve $\mathbf{x}(2)=\mathbf{0}$ koşulunu sağlar.
2. Katsayılar $(-\infty,\infty)$ üzerinde sürekli olduğundan varlık–teklik teoremi çözümün tüm aralıkta tek olduğunu söyler.
3. Dolayısıyla verilen çözüm sıfır çözümle çakışır: her $t$ için $\mathbf{x}\equiv\mathbf{0}$.
A ve B şıkları teklik teoreminin tüm aralığı kapsadığını gözden kaçırır (çözüm "bir noktadan sonra" sıfır olamaz). C şıkkı lineer sistemin çözümünün sıfırdan çıkıp büyüyebileceğini varsayar; E şıkkının hiçbir dayanağı yoktur.
Soru 2
$A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ matrisinin $\lambda = -1$ özdeğerine ait bir özvektör aşağıdakilerden hangisidir?
- $(2,\,-1)^T$
- $(1,\,2)^T$
- $(1,\,-1)^T$
- $(2,\,1)^T$
- $(1,\,1)^T$
Doğru cevap: A
Çözüm
1. $A - \lambda I = A + I = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$; iki satır aynıdır (matris tekildir, beklenen durum).
2. Tek denklem: $2\xi_1 + 4\xi_2 = 0$, yani $\xi_1 = -2\xi_2$. $\xi_2 = -1$ seçersek $\boldsymbol{\xi} = (2, -1)^T$.
3. Sınama: $A(2,-1)^T = (2 - 4,\; 4 - 3)^T = (-2, 1)^T = -1\cdot(2,-1)^T$.
Cevap: A. B seçeneği matrisin satırını ($2, 4$ sadeleşmişi) özvektör sanır; oysa özvektör, satırın değil denklemin çözümüdür. E seçeneği $\lambda = 5$'e ait özvektördür ($A(1,1)^T = 5(1,1)^T$). C ve D seçenekleri denemede tutmaz: $A(1,-1)^T = (-3,-1)^T$ ve $A(2,1)^T = (6,7)^T$ vektörün katı değildir.
Sınavın tamamı Diferansiyel Denklemler dersini derslerine ekleyince açılır.