Diferansiyel Denklemler · 8. Ünite
8. Ünite Deneme Sınavı: Kısmi Diferansiyel Denklemler ve Fourier Serileri
20 çoktan seçmeli soru · 5 konu · cevaplar ve çözümler sınavı bitirince
Sınavdaki konular
- Ortogonal Fonksiyonlar ve Fourier Serileri (4 soru)
- Değişkenlerine Ayırma Yöntemi (4 soru)
- Isı İletim Denklemi (4 soru)
- Dalga Denklemi (4 soru)
- Laplace Denklemi (4 soru)
Deneme sınavı nasıl işler?
- Ünitenin her konusundan soru gelir; sorular konulara eşit dağılır.
- Cevaplar ve çözümler sınav sırasında görünmez; "Sınavı bitir" deyince hepsi birlikte açılır.
- Doğru sayına göre geri bildirim alırsın; yanlış yaptığın konulara tek tıkla dönersin.
- En iyi sonucunu geçen her doğru için 3 XP, %90'a ulaşınca 25 XP bonus ve deneme rozetleri kazanırsın.
- Sınavı sıfırlayıp yeni sorularla yeniden çözebilirsin; sıfırlamazsan sonuçların işaretli kalır.
Örnek sorular
Soru 1
$[-2,2]$ aralığında $\displaystyle\int_{-2}^{2}\sin^2\!\Big(\frac{3\pi x}{2}\Big)dx$ integralinin değeri kaçtır? (Bu, $L=2$ için $\lVert\sin\frac{n\pi x}{L}\rVert^2$ normudur.)
- $1$
- $2$
- $4$
- $\pi$
- $2\pi$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. $\sin^2\theta = \tfrac12(1-\cos 2\theta)$ ile integrand $\tfrac12\big(1-\cos 3\pi x\big)$ olur.
2. $\int_{-2}^{2}\tfrac12\,dx = 2$ ve $\int_{-2}^{2}\cos 3\pi x\,dx = \tfrac{2\sin 6\pi}{3\pi} = 0$.
3. Sonuç $2 = L$; norm $n$'e bağlı değildir.
Cevap: B. $4=2L$ sabit fonksiyonun normudur ($\lVert 1\rVert^2=2L$), $\sin$ ve $\cos$ için ise $L$ gelir. $\pi$ ve $2\pi$, $L=\pi$ için tablo değerlerini $L=2$'ye uygulamaktan doğar.
Soru 2
Uzunluğu $L = 0{,}10\,\text{m}$, ısıl yayılımı $\alpha = 1{,}0\times 10^{-4}\,\text{m}^2/\text{s}$ olan bir çubuğun uçları $0\,^\circ\text{C}$'de tutuluyor ve başlangıç sıcaklığı $u(x,0) = T_0\sin(\pi x/L)$. Orta noktanın sıcaklığı başlangıç değerinin yarısına yaklaşık kaç saniyede iner?
- $69{,}3\ \text{s}$
- $10{,}1\ \text{s}$
- $7{,}02\ \text{s}$
- $70{,}2\ \text{s}$
- $14{,}6\ \text{s}$
Doğru cevap: C
Çözüm
1. Başlangıç tek moddur: $u(x,t) = T_0\,e^{-\gamma_1 t}\sin(\pi x/L)$ ve $\gamma_1 = \pi^2\alpha/L^2 = 9{,}8696\times 10^{-4}/0{,}01 \approx 0{,}0987\,\text{s}^{-1}$.
2. $e^{-\gamma_1 t} = 1/2$ ise $t = \ln 2/\gamma_1 = 0{,}6931/0{,}0987 \approx 7{,}02\,\text{s}$.
Cevap: C. A $\pi^2$ çarpanını unutur ($\ln 2\,L^2/\alpha$). B yalnızca zaman sabitini ($\tau_1 = 10{,}1\,\text{s}$, $1/e$ düşüşü) verir, yarılanmayı değil. D $L^2$ yerine $L$ kullanır. E $\ln 2$ yerine $1/\ln 2$ çarpar.
Sınavın tamamı Diferansiyel Denklemler dersini derslerine ekleyince açılır.